Fonction exponentielle et suites

Propriété

Soit \(a\) un nombre réel non nul. La suite  \((u_n)\)  définie pour tout  \(n\) naturel par  \(u_n = \text e^{na}\) est la suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\)  et de raison  \(q = \text e^a\) .

Démonstration

Pour tout \(n\) naturel, \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\text e^{(n+1)a}}{\text e^{na} }={\text e^{(n+1)a - na}} = \text e^a\) . On en déduit que la suite  \((u_n)\)  est géométrique de raison   \(q = \text e^a\)  et de premier terme  \(u_0 = \text e^{0 \times a} = \text e^0 = 1\) . 

Propriété  Variations de la suite  \(\boldsymbol{(u_n)}\)  

• La suite  \((u_n)\) est strictement croissante lorsque \(a>0\) .
  
• La suite  \((u_n)\) est strictement décroissante lorsque \(a<0\) .
  

Démonstration

\((u_n)\) est strictement croissante lorsque sa raison est strictement supérieure à \(1\) .
Or, \(\text e^a>1\) lorsque \(a\) est strictement positif, d'où le résultat.
On procède de façon analogue pour traiter le cas \((u_n)\) strictement décroissante.

Exemples

1. La suite  \((u_n)\)  définie, pour tout  \(n\)  entier naturel, par  \(u_n = \text e^{5n}\) est la suite géométrique de premier terme  \(u_0 = 1\)  et de raison  \(q = \text e^5\) .
2. La suite  \((u_n)\)  définie, pour tout  \(n\)  entier naturel, par  \(u_n = \dfrac{2}{\text e^{3n}}\) est géométrique. En effet,  \(u_n = \dfrac{2}{\text e^{3n}} = 2\text e^{-3n}\) , son premier terme est \(u_0 = 2\)  et sa raison est  \(q = \text e^{-3}\) .
3. La suite  \((u_n)\)  définie, pour tout  \(n\)  entier naturel, par  \(u_n = \text e^{4 - 9n}\) est géométrique. En effet   \(u_n = \text e^{4 - 9n} = \text e^{4 } \text e^{- 9n}\) , son premier terme  \(u_0 = \text e^4\)  et sa raison est  \(q = \text e^{-9}\) .